確率的に有り得ない話

 ――店主は今日もまた、独り言を続けている。

 いくら何でも「21(R-Y)+21(-R+Y)」を偶然見つけるなんて、確率的にはほとんど有り得ないだろうと思いました。僕は一体どうやってこの手順にたどりついたんだろうか…。そう考えてみても、ちっとも思い出せませんでした。

 しかし、「2個のコーナーキューブの向きを変える84ステップの手順」を知っていることは間違いないし、現物を使ってやってみると確かにコーナーキューブの向きが変わりました。だいたい、この「21回繰り返し」という手順はどこから出てきたのか?

 そんなことをぼんやり考えながら何度もキューブを回しているうちに、どこかで手順を間違ったらしく、元に戻らなくなってしまいました。そこで、当時のやり方でエッジキューブの色から揃えていきました。エッジだけなら完全な解法を知らなくても適当にやっていけば何とか揃います。コーナーキューブもいくつかは正しい位置に入っています。

 そこで、位置だけは正しいコーナーキューブの向きを揃えるために、例の84ステップを(今度は間違わないように)慎重に2ステップずつ数えながらやっていきました。すると、7の倍数(つまり14の倍数のステップ)のときに、エッジキューブが正しい位置に正しい向きで戻ってくることに気付きました。しかし、コーナーキューブは相変わらずバラバラのままです。このとき、やっと思い出しました。この14ステップで、エッジキューブの位置と向きを保存したまま、コーナーキューブの位置や向きを変えることができるのです。

 いろいろ試してみた結果、隣り合った面Pと面Qに関して、以下の操作を加えると、エッジキューブの状態を崩すことなく、6個のコーナーキューブの位置や向きを変えられることが分かりました。

7(P+Q), 7(P-Q), 7(-P+Q), 7(-P-Q),
7(Q+P), 7(Q-P), 7(-Q+P), 7(-Q-P)

 当時は、この手順と結果をメモしておいて使い分けていたのだろうと思います。これをいろんな面のペアに対して繰り返していけば、コーナーキューブの位置を全部合わせることができそうです。そして、最後の仕上げでコーナーキューブの向きを揃える手順が、例の84ステップだったのでしょう。道理でほかの手順をすっかり忘れてしまっているわけです。

 そして、(P-Q)や(-P+Q)のように隣り合った面を互いに逆方向に回転させる場合は、3回(6ステップ)ごとに、コーナーキューブが元の位置に戻る(ただし向きは一定方向にずれる)ことが分かりました。9回(18ステップ)目には、元の位置・元の向きに戻ります。ということは、21回(42ステップ)目には、エッジキューブの位置と向きが元に戻り、かつ、コーナーキューブは位置だけが正しい状態になるわけです。

 その後、同じ面のペアをさっきとは逆方向に回転する手順に切り換えて21回繰り返すと、2つの面に共有されるコーナーキューブの向きだけが変化して、他のキューブは最初の状態に戻りました。おそらく、片方の面に属するコーナーキューブでは、前半の21回(42ステップ)で生じた向きのずれが後半の21回(42ステップ)によって相殺されたのでしょう。

 この件については、後日改めて詳しく検証してから補足したいと思います。

 ――店主は、喋り疲れたのか、奥に引っ込んで昼寝を始めた。

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コメント(3)

Rubic Cube の実物を触ったことが無いので、頭の中だけではかみかずしげさまの行った過程を再現できません、、、、残念!

明日こそは、現物を手に入れタイと思いつつ、12時間遅れの昼寝に入ります。。。。

 おはようございます。

 現物は手に入りましたか? まだだったら、このサイトを御覧になってください。

おもしろフラッシュゲーム集 ルービックキューブ

 画面上でキューブの操作ができます。キューブの特定の位置にマウスカーソルを合わせると矢印が表示されて、そこでクリックすると回転します。直感的で分かりやすいし、何といっても一発でリセットできるところが現物よりも使いやすいです。

【訂正】
 記事中の以下の太字部分が間違っていたので、訂正しました。

(誤)

7(P+Q), 7(P-Q), 7(-P+Q), 7(-P+Q),
7(Q+P), 7(Q-P), 7(-Q+P), 7(-Q-Q)

(正)

7(P+Q), 7(P-Q), 7(-P+Q), 7(-P-Q),
7(Q+P), 7(Q-P), 7(-Q+P), 7(-Q-P)

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このページは、かみ かずしげが2009年9月27日 12:08に書いたブログ記事です。

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